线性代数闪电战

行列式的概念及简单计算

行列式计算网站：https://matrix.reshish.com/zh/determinant.php
两行两列就是二阶行列式，以此类推还有n行n列式：∣1223∣\begin{vmatrix}1 & 2\\2 & 3\end{vmatrix}∣∣∣∣∣​12​23​∣∣∣∣∣​，这里的行用r表示，列用c表示。
这些行列式经过一系列计算最后得到一个数字。对于如上的二阶行列式，计算方式就是：左斜对角线乘积-右斜对角线乘积。
则以1*3 - 2*2，结果为-1
三阶、四节等多节行列数，需要将左斜对角线下方的数字全部变成0，再将做斜对角线所有数字相乘即可。如下3个都是计算行列式的方法：

1. 某行（列）加上或减去另一行（列）的几倍，行列式不变 。根据这一定义，逐个将左斜对角线。这里最后的变形是：∣1230−1−2001∣\begin{vmatrix}1 &2 & 3\\0 &-1 & -2 \\0 &0 & 1\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣​100​2−10​3−21​∣∣∣∣∣∣∣​

解题思路就是：第一行的作用是使后面行的首位变成0，第二行的作用是使后面行的第二位变为0，以此类推。

还有其他几条定义同样可以更快速地求出这个行列式的值。
2. 某行（列）乘 k ，等于 k 乘此行列式。

例如 ∣123423454578891012∣=1\begin{vmatrix} 1&2 &3 &4 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix} =1∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1248​2359​34710​45812​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=1，将 r1 乘以 2 ，得到：∣246823454578891012∣\begin{vmatrix} 2&4 &6 &8 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣​2248​4359​64710​85812​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
所以 r1 x 2 后新行列式的值为原值 x 2，
即：∣246823454578891012∣=\begin{vmatrix} 2&4 &6 &8 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix}=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​2248​4359​64710​85812​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​= 2*(-1)=-2
这是单行乘以 k 后的计算方法，如果存在多行是原式的倍数，则新值为：所有倍数与原值相乘
3. 互换两行(列)，行列式变号

例如 ∣123423454578891012∣=−1\begin{vmatrix} 1&2 &3 &4 \\ 2&3 &4 &5 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix} =-1∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1248​2359​34710​45812​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=−1
将 r1 和 r2互换得到：∣234512344578891012∣\begin{vmatrix} 2&3 &4 &5 \\ 1&2 &3 &4 \\ 4& 5&7 &8 \\ 8& 9 &10 &12\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣​2148​3259​43710​54812​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
所以 r1 和 r2互换后新行列式的值为原值 x -1，即： −1∗(−1)=1-1 * (-1)=1−1∗(−1)=1。如果需要互换多次，则每次的新结果都是原值 x -1，也就是每次互换都将乘以 -1。
行列式运算过程可能产生较多的草稿，如果需要在纸面上简单地写明计算步骤，如下图：

行列式的计算及应用

1. n 行 n 列的行列式 ，∣xaaaxaaax∣=(x−a)n−1[x+(n−1)a]\begin{vmatrix} x& a& a& \\ a& x& a& \\ a& a& x& \end{vmatrix}=(x-a)^{n-1}[x+(n-1)a]∣∣∣∣∣∣∣​xaa​axa​aax​​∣∣∣∣∣∣∣​=(x−a)n−1[x+(n−1)a]

例如在 ∣2333323333233332∣\begin{vmatrix} 2& 3& 3& 3\\ 3& 2& 3& 3\\ 3& 3& 2& 3\\ 3& 3& 3& 2\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣​2333​3233​3323​3332​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​ 中，x=2,a=3,n=4x=2, a=3,n=4x=2,a=3,n=4。结果为：∣2333323333233332∣=(2−34−1[2+(4−1)∗3])=−11\begin{vmatrix} 2& 3& 3& 3\\ 3& 2& 3& 3\\ 3& 3& 2& 3\\ 3& 3& 3& 2\end{vmatrix} =(2-3^{4-1}[2+(4-1)*3])=-11∣∣∣∣∣∣∣∣∣​2333​3233​3323​3332​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=(2−34−1[2+(4−1)∗3])=−11
2. 范德蒙行列式 ，即：∣11…1x1x2…xnx12x22…xn2…………x1n−1x2n−1…xnn−1∣\begin{vmatrix} 1& 1& …& 1\\ x_1& x_2& …& x_n\\ {x_{1}}^{2}& {x_{2}}^{2}& …& {x_{n}}^{2}\\ …& …& …& …\\ {x_{1}}^{n-1}& {x_{2}}^{n-1}& …&{x_{n}}^{n-1}\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1x1​x1​2…x1​n−1​1x2​x2​2…x2​n−1​……………​1xn​xn​2…xn​n−1​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
=(xn−xn−1)(xn−xn−2)(xn−xn−3)….(xn−x1)=(x_n - x_{n-1})(x_n - x_{n-2})(x_n - x_{n-3})….(x_n-x_1)=(xn​−xn−1​)(xn​−xn−2​)(xn​−xn−3​)….(xn​−x1​)
x (xn−1−xn−2)(xn−1−xn−3)…(xn−1−x1)(x_{n-1} - x_{n-2})(x_{n-1} - x_{n-3})…(x_{n-1} - x_1)(xn−1​−xn−2​)(xn−1​−xn−3​)…(xn−1​−x1​)
x …
x $ (x_2 - x_1)$

这种特殊行列式的规律是，r1 全部为 1 ，剩下部分指数以此增加。如c1中，从第二行开始是1次方，2次方、3次方……直到x1的n-1
在等号这行，都是 xnx_{n}xn​减去一个数，且该数规律性减少：xn−1,xn−2,xn−3x_{n-1}, x_{n-2}, x_{n-3}xn−1​,xn−2​,xn−3​，直到x1x_{1}x1​
第二行中，都是 xn−1x_{n-1}xn−1​减去一个数,被减数总是比减数小1，且同样规律性减少：xn−2,xn−3x_{n-2}, x_{n-3}xn−2​,xn−3​。直到x1x_{1}x1​
如此逐次计算，直到x2−x1x_{2}-x_{1}x2​−x1​
举例说明：∣111134563242526233435363∣\begin{vmatrix} 1& 1& 1& 1\\ 3& 4& 5& 6\\ 3^2& 4^2& 5^2& 6^2\\ 3^3& 4^3& 5^3& 6^3\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣​133233​144243​155253​166263​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​符合公式观察得出：
x1=3,x2=4,x3=5,x4=6,n=4x_{1}=3, x_{2}=4,x_{3}=5,x_{4}=6,n=4x1​=3,x2​=4,x3​=5,x4​=6,n=4
则(6−5)(6−4)(6−3)(5−4)(5−3)(4−3)=12(6-5)(6-4)(6-3)(5-4)(5-3)(4-3)=12(6−5)(6−4)(6−3)(5−4)(5−3)(4−3)=12
例子二：运算过程如下（计算结果是有点问题的，但思路是对的）

3. 行列式运算定义

• 两行(列)相同或成比例时，行列式结果为0
• 某行(列)为两项相加减时，行列式可拆成两个行列式相加减。

例如：∣12342468345678910∣\begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 4& 5& 6\\ 7& 8& 9& 10\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1237​2448​3659​48610​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​中r1 和r2 成倍数，则该行列式结果为0.
第二个性质例如：∣12+a3424+b6834+c5678+d910∣=∣12342468345678910∣+∣1a3b2c6d345678910∣\begin{vmatrix} 1& 2+a& 3& 4\\ 2& 4+b& 6& 8\\ 3& 4+c& 5& 6\\ 7& 8+d& 9& 10\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 4& 5& 6\\ 7& 8& 9& 10\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1& a& 3& b\\ 2& c& 6& d\\ 3& 4& 5& 6\\ 7& 8& 9& 10\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1237​2+a4+b4+c8+d​3659​48610​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1237​2448​3659​48610​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1237​ac48​3659​bd610​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​，注意，单行(列)存在相加减时，分为2个行列式，如果有多行(列)相加减，那么需要分别分开成2个行列式。
4. 求余子式和代数余子式

例如：求∣12356791011∣\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣​159​2610​3711​∣∣∣∣∣∣∣​中 a23a_{23}a23​的余子式。
余子式用M表示。
a是行列式中的某个数字，23指的是行数与列数，所以a23指的是2行3列的7。
a23的余子式也就是要求M23，即将 r2 、c3删除，计算剩下的式子即可。

代数余子数用A表示，值为余子数 x -1 的行+列次方，即：A23=(−1)2+3∗M23A_{23}=(-1)^{2+3}*M_{23}A23​=(−1)2+3∗M23​
5. 拉普拉斯展开（行列式展开定理） ，选择任意行(列)带入如下对应式子进行计算。
* D=ai1Ai1+ai2Ai2+…..+ainAinD=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+…..+a_{in}A_{in}D=ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+…..+ain​Ain​ (第i行)
* D=a1jA1j+a2jA2j+……+anjAnjD=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+……+a_{nj}A_{nj}D=a1j​A1j​+a2j​A2j​+……+anj​Anj​ (第j列)

例如：∣12356791011∣\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣​159​2610​3711​∣∣∣∣∣∣∣​ 取第一行，则 i为 1，得出：
∣12356791011∣=a11A11+a12A12+a13A13\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}∣∣∣∣∣∣∣​159​2610​3711​∣∣∣∣∣∣∣​=a11​A11​+a12​A12​+a13​A13​。a11、a12、a13代表行列所在数字，A11代表代数余子数，A11=(−1)1+1M11A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}A11​=(−1)1+1M11​
则：a11(−1)1+1M11+a12(−1)1+2M12+a13(−1)1+3M13a_{11}(-1)^{1+1}M_{11} + a_{12}(-1)^{1+2}M_{12} + a_{13}(-1)^{1+3}M_{13}a11​(−1)1+1M11​+a12​(−1)1+2M12​+a13​(−1)1+3M13​
得到：1∗(−1)1+1∗∣671011∣+2∗(−1)1+2∗∣57911∣+3∗(−1)1+3∗∣56910∣1*(-1)^{1+1}* \begin{vmatrix} 6&7 \\ 10&11\end{vmatrix} + 2*(-1)^{1+2}* \begin{vmatrix} 5&7 \\ 9&11\end{vmatrix} + 3*(-1)^{1+3}* \begin{vmatrix} 5&6 \\ 9&10\end{vmatrix}1∗(−1)1+1∗∣∣∣∣∣​610​711​∣∣∣∣∣​+2∗(−1)1+2∗∣∣∣∣∣​59​711​∣∣∣∣∣​+3∗(−1)1+3∗∣∣∣∣∣​59​610​∣∣∣∣∣​
最后计算上述式子，就是行列式的值。（TODO）
通常用该方法计算出来的步骤很繁杂，但部分题目套进去会比较简单。如果行列式某一行(列)的0比较多，那通过这种办法能减少很多时间。
6. 多个 A 或 M 相加减（零值定理）

已知D=∣12345678910111213141516∣D=\begin{vmatrix} 1& 2& 3&4 \\ 5& 6& 7&8 \\ 9& 10& 11&12 \\ 13& 14& 15&16\end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​15913​261014​371115​481216​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​，求：
1：3A11+4A12+5A13+6A143A_{11}+4A_{12}+5A_{13}+6A_{14}3A11​+4A12​+5A13​+6A14​，在原式找到A11A_{11}A11​等位置，然后将前面的系数替换进去，计算新式子的结果：∣34565678910111213141516∣\begin{vmatrix} 3& 4& 5&6 \\ 5& 6& 7&8 \\ 9& 10& 11&12 \\ 13& 14& 15&16\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣​35913​461014​571115​681216​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
2：3A11+4A21+5A31+6A413A_{11}+4A_{21}+5A_{31}+6A_{41}3A11​+4A21​+5A31​+6A41​，在原式找到A11A_{11}A11​等位置，然后将前面的系数替换进去，计算新式子的结果：∣3234467851011126141516∣\begin{vmatrix} 3& 2& 3&4 \\ 4& 6& 7&8 \\ 5& 10& 11&12 \\ 6& 14& 15&16\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣​3456​261014​371115​481216​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
3：3M11+4M12+5M13+6M143M_{11}+4M_{12}+5M_{13}+6M_{14}3M11​+4M12​+5M13​+6M14​，需要先将M替换成A，已知Arc=(−1)r+cMrcA_{rc}=(-1)^{r+c}M_{rc}Arc​=(−1)r+cMrc​，则该式子转换为：
3(−1)1+1M11+4(−1)2+1M11+5(−1)3+1M31+6(−1)4+1M413(-1)^{1+1}M_{11} + 4(-1)^{2+1}M_{11} + 5(-1)^{3+1}M_{31} + 6(-1)^{4+1}M_{41}3(−1)1+1M11​+4(−1)2+1M11​+5(−1)3+1M31​+6(−1)4+1M41​
得出：3A11−4A21+5A31−6A413A_{11}-4A_{21}+5A_{31}-6A_{41}3A11​−4A21​+5A31​−6A41​，到这一步就跟上2种一样，将系数替换进原式，，计算该新式子的结果：∣3234−46785101112−6141516∣\begin{vmatrix} 3& 2& 3&4 \\ -4& 6& 7&8 \\ 5& 10& 11&12 \\ -6& 14& 15&16\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣​3−45−6​261014​371115​481216​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
7. 判断方程组的解的情况

可根据计算参考该表格获取解的情况。

方程组	D != 0	D = 0
齐次	只有一组零解	有零解与非零解
非齐次	只有一组非零解	有多个解或无解
判断该方程组是否有唯一解：{x1+2x2+3x3=04x1+5x2+6x3=07x1+8x2+9x3=0\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} 2x_{2} \text{+} 3x_{3}=0 \\ 4x_{1} \text{+} 5x_{2} \text{+} 6x_{3}=0 \\ 7x_{1} \text{+} 8x_{2} \text{+} 9x_{3}=0 \\\end{matrix}\right.⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+2x2​+3x3​=04x1​+5x2​+6x3​=07x1​+8x2​+9x3​=0​
表格解释：齐次 指方程组只有x与0，没有常数项。非齐次 除了x与0还有常数项。（TODO：没有明白）
D!=0和D=0的依据是，将方程组的系数取出，形成一个新的行列式，计算该行列式的值。注意，如果有的题目没有完整的等长等宽方程组，例如：{x1+3x3=0x2+4x3=0x1+5x3=0\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} 3x_{3}=0 \\ x_{2} \text{+} 4x_{3}=0 \\ x_{1} \text{+} 5x_{3}=0 \\\end{matrix}\right.⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+3x3​=0x2​+4x3​=0x1​+5x3​=0​ ，就需要手动补0，即：{x1+0x2+3x3=00x1+x2+4x3=0x1+5x2+0x3=0\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} 0x_{2} \text{+} 3x_{3}=0 \\ 0x_{1} \text{+} x_{2} \text{+} 4x_{3}=0 \\ x_{1} \text{+} 5x_{2} \text{+} 0x_{3}=0 \\\end{matrix}\right.⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+0x2​+3x3​=00x1​+x2​+4x3​=0x1​+5x2​+0x3​=0​，形成的行列式为：∣103014150∣\begin{vmatrix} 1& 0& 3\\ 0& 1& 4\\ 1& 5& 0\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣​101​015​340​∣∣∣∣∣∣∣​
例如上述例题，是一个齐次方程，将其系数提取形成行列式，得到∣123456789∣\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣​147​258​369​∣∣∣∣∣∣∣​，值为 0，即有零解与非零解，就是没有唯一解。
例题2：
方程组：{x1+yx2+3x3=04x1+5x2+6x3=07x1+8x2+9x3=0\left\{\begin{matrix} x_{1} \text{+} yx_{2} \text{+} 3x_{3}=0 \\ 4x_{1} \text{+} 5x_{2} \text{+} 6x_{3}=0 \\ 7x_{1} \text{+} 8x_{2} \text{+} 9x_{3}=0 \\\end{matrix}\right.⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+yx2​+3x3​=04x1​+5x2​+6x3​=07x1​+8x2​+9x3​=0​ 有非零解，请确定 y的值。
解答：观察方程式，为齐次方程组。且有非零解，那么D=0,则：∣1y3456789∣=0\begin{vmatrix} 1& y& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{vmatrix}=0∣∣∣∣∣∣∣​147​y58​369​∣∣∣∣∣∣∣​=0，即可求出y=2y=2y=2

矩阵计算

矩阵相加减

已知A=(132456),B=(789101112)A=\begin{pmatrix} 1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{pmatrix}A=⎝⎛​125​346​⎠⎞​,B=⎝⎛​7911​81012​⎠⎞​,求 2A+3B2A+3B2A+3B
矩阵与系数相乘时，将系数与矩阵的每个数字相乘，即：
2A=(1∗23∗22∗24∗25∗26∗2)=(26481012)2A=\begin{pmatrix} 12& 32\\ 22& 42\\ 52& 62\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2& 6\\ 4& 8\\ 10& 12\end{pmatrix}2A=⎝⎛​1∗22∗25∗2​3∗24∗26∗2​⎠⎞​=⎝⎛​2410​6812​⎠⎞​
3B=(7∗38∗39∗310∗311∗312∗3)=(212427303336)3B=\begin{pmatrix} 73& 83\\ 93& 103\\ 113& 123\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 21& 24\\ 27& 30\\ 33& 36\end{pmatrix}3B=⎝⎛​7∗39∗311∗3​8∗310∗312∗3​⎠⎞​=⎝⎛​212733​243036​⎠⎞​
矩阵与矩阵相加时，将两个矩阵内每个数字相加，即 2A+3B=2A+3B=2A+3B=：
(2+216+244+278+3010+3312+36)=(313031384348)\begin{pmatrix} 2+21& 6+24\\ 4+27& 8+30\\ 10+33& 12+36\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 31& 30\\ 31& 38\\ 43& 48\end{pmatrix}⎝⎛​2+214+2710+33​6+248+3012+36​⎠⎞​=⎝⎛​313143​303848​⎠⎞​

矩阵相乘

核心：前行乘后列

1. 简单相乘

已知A=(132456),B=(789101112)A=\begin{pmatrix} 1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 7& 8 & 9\\ 10 & 11& 12\end{pmatrix}A=⎝⎛​125​346​⎠⎞​,B=(710​811​912​),求 A∗BA BA∗B：
A∗B=(132456)∗(789101112)A * B =\begin{pmatrix} 1& 3\\ 2& 4\\ 5& 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7& 8 & 9\\ 10 & 11& 12\end{pmatrix}A∗B=⎝⎛​125​346​⎠⎞​∗(710​811​912​)，该矩阵相乘结果的矩阵行列数，取决与A与B的行列数，结果矩阵为 A 的行数，B 的列数其中，矩阵的r11为A11∗B11+A12∗B21A_{11}* B_{11}+A_{12}B_{21}A11​∗B11​+A12​∗B21​，r12为A11∗B12+A12∗B22A_{11} B_{12}+A_{12}B_{22}A11​∗B12​+A12​∗B22​……以此类推。即如下，计算后就是答案了。
=(1∗7+3∗101∗8+3∗111∗9+3∗122∗7+4∗102∗8+4∗112∗9+4∗125∗7+6∗105∗8+6∗115∗9+6∗12)=\begin{pmatrix} 17+310& 18+311 & 19+312\\ 27+410& 28+411 & 29+412\\ 57+610& 58+611 & 59+6*12\end{pmatrix} =⎝⎛​1∗7+3∗102∗7+4∗105∗7+6∗10​1∗8+3∗112∗8+4∗115∗8+6∗11​1∗9+3∗122∗9+4∗125∗9+6∗12​⎠⎞​
2. 化简后相乘

已知A=(101020101),B=(123456789)A=\begin{pmatrix} 1& 0 &1\\ 0& 2 & 0\\ 1& 0 & 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 4 & 5& 6\\ 7& 8 &9 \end{pmatrix}A=⎝⎛​101​020​101​⎠⎞​,B=⎝⎛​147​258​369​⎠⎞​,求 A2B−2ABA^{2}B-2ABA2B−2AB：
A2B−2ABA^{2}B-2ABA2B−2AB可将B提取，化简为(A2−2A)∗B(A^{2}-2A)*B(A2−2A)∗B，得到：（图片P3-5:28）
矩阵相乘的一些注意事项

• A=(000000000)=0A=\begin{pmatrix} 0& 0 &0\\ 0& 0 & 0\\ 0& 0 & 0\end{pmatrix}=0A=⎝⎛​000​000​000​⎠⎞​=0 任何矩阵与零矩阵相乘都会成为零矩阵
• (100010001)=E\begin{pmatrix} 1& 0 &0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1\end{pmatrix}=E⎝⎛​100​010​001​⎠⎞​=E 除了对角线全是1，其他都是 0（不论多少阶）。E矩阵的行列数取决于与它运算的式子的行列，它随所运算的式子的行列数而更改，并不是固定的一个行列数。任何矩阵与E相乘都不变，E自己相乘结果也是E。即A∗E=AA*E=AA∗E=A，E∗A=AE * A =AE∗A=A，E2=E∗E=EE^{2}=E * E =EE2=E∗E=E。
• 矩阵相乘有顺序，先后不能颠倒，AB与BA不一定相等。在化简时同样，A2B−2AB=(A2−2AB)∗BA^{2}B-2AB=(A^{2}-2AB)BA2B−2AB=(A2−2AB)∗B是允许的，因为化简后B在后面。但A2B−2AB=B∗(A2−2AB)A^{2}B-2AB=B(A^{2}-2AB)A2B−2AB=B∗(A2−2AB)则是不允许的。
• 矩阵中没有出发，无法根据AX=AYAX=AYAX=AY就推测出X=YX=YX=Y
• (AB)k(AB)^{k}(AB)k与AkBkA^{k}B^{k}AkBk不一定相等，无法展开。
• A2+(k+j)AB+kjB2A^{2}+(k+j)AB+kjB^{2}A2+(k+j)AB+kjB2与(A+kB)(A+jB)(A+kB)(A+jB)(A+kB)(A+jB)不一定相等，无法展开（A 或 B有一项是E矩阵除外）。

3. 计算矩阵对应行列式

已知A=(24646881014)A=\begin{pmatrix} 2& 4 &6\\ 4& 6 & 8\\ 8& 10 & 14\end{pmatrix}A=⎝⎛​248​4610​6814​⎠⎞​，求$\left | A \right | $。将该矩阵的括号换成行列式的竖线，计算行列式取值即可。
公式：∣λA∣=λn∣λA∣\left | \lambda A \right |=\lambda^{n}\left | \lambda A \right |∣λA∣=λn∣λA∣。如上矩阵，所有数字都是 2 的倍数，即可将 2 提出，
变为：A=2(123234457)A=2\begin{pmatrix} 1& 2 &3\\ 2& 3 & 4\\ 4& 5 & 7\end{pmatrix}A=2⎝⎛​124​235​347​⎠⎞​，即∣A∣=2n∣123234457∣\left | A \right | =2^{n}\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 2& 3& 4\\ 4& 5& 7\end{vmatrix}∣A∣=2n∣∣∣∣∣∣∣​124​235​347​∣∣∣∣∣∣∣​
4. 矩阵转置

已知A=(101)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}A=(1​0​1​)，求ATAATA^{T}AA^{T}ATAAT。
补充说明：矩阵 A 右上角加上 T 后，就代表转置了。它的行变成列，列变成行，即AT=(101)A^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}AT=⎝⎛​101​⎠⎞​
所以 ATAAT=(101)∗(101)∗(101)=(101000101)∗(101)=(202)A^{T}AA^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 0 &1\\ 0& 0 &0 \\ 1& 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\2 \end{pmatrix}ATAAT=⎝⎛​101​⎠⎞​∗(1​0​1​)∗⎝⎛​101​⎠⎞​=⎝⎛​101​000​101​⎠⎞​∗⎝⎛​101​⎠⎞​=⎝⎛​202​⎠⎞​
从上面看，从左到右相乘时，会展开一个33的矩阵，计算起来比较麻烦。可以先用后面的单行乘以单列，计算结果为单行同样为单行单列。而单行单列的矩阵，括号就可以去掉，矩阵内数字相加，变成一个系数。再用前面的矩阵与该系数相乘，达到简化计算的效果，如下：
ATAAT=(101)∗(101)∗(101)A^{T}AA^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}ATAAT=⎝⎛​101​⎠⎞​∗(1​0​1​)∗⎝⎛​101​⎠⎞​
(101)∗(101)=(1+0+1)=(2)=2\begin{pmatrix} 1 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}=(1+0+1)=(2)=2(1​0​1​)∗⎝⎛​101​⎠⎞​=(1+0+1)=(2)=2
ATAAT=(101)∗2=(202)A^{T}AA^{T}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}*2=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\2 \end{pmatrix}ATAAT=⎝⎛​101​⎠⎞​∗2=⎝⎛​202​⎠⎞​
其他公式:

• (AB)T=BTAT(AB)^{T}=B^{T}A^{T}(AB)T=BTAT：两个矩阵相乘后再转置的结果，等于第二个矩阵的转置乘以第一个矩阵的转置
• ∣AT∣=∣A∣\left | A^{T} \right | =\left | A \right |∣∣∣​AT∣∣∣​=∣A∣： 一个矩阵转置的绝对值等于这个矩阵的绝对值。（绝对值指的是行列式）

5. 证明矩阵可逆

可逆条件：

1. 该矩阵为方阵，即行列数相等。
2. ∣A∣≠0\left | A \right | \ne 0∣A∣=0 或者存在一个矩阵B，满足AB=EAB=EAB=E或者BA=EBA=EBA=E

方阵和计算矩阵的行列式比较简单，寻找矩阵B相对复杂，这里不做阐述。
6. 求逆矩阵

计算方式：将矩阵(A⋮E)(A\vdots E)(A⋮E)进行1.换行; 2.某行乘一个数; 3. 一行加上或减去另一行乘数字 变成(E⋮A−1)(E\vdots A^{-1})(E⋮A−1)
已知A=(123234457)A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &4 \\ 4 &5 &7\end{pmatrix}A=⎝⎛​124​235​347​⎠⎞​，求A−1A^{-1}A−1
解答：需要在矩阵右边添加一个 单位矩阵E，经过一系列计算变换，将前半部分矩阵变成 E，并获取后半部分矩阵。
通过与 r1 、r2计算，使对角线左下方数字变为0；再通过与 r2 、r3计算，使对角线右上方数字变为0.
使得矩阵 (123100234010457001)\left(\begin{array}{lll|lll}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 \\4 & 5 & 7 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)⎝⎛​124​235​347​100​010​001​⎠⎞​ 变换成 (100−1−11010−25−20012−31)\left(\begin{array}{lll|lll}1 & 0& 0 & -1 & -1 & 1 \\0 & 1 & 0 & -2 & 5 & -2 \\0 & 0 & 1 & 2 & -3 & 1\end{array}\right)⎝⎛​100​010​001​−1−22​−15−3​1−21​⎠⎞​，后半部分的矩阵就是A−1A^{-1}A−1
注意：

• 对角线数字必须为1，否则无法计算后续。
• 只能先将左下角数字变换为0，再将右上角数字变换为0，顺序不能乱。
• 计算需严谨，一步错步步错

7. *利用 A∗A−1=EAA^{-1}=EA∗A−1=E 或 A−1∗A=EA^{-1}A=EA−1∗A=E 计算*

证明题：已知A=(123234457)A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &3 &4 \\ 4 &5 &7\end{pmatrix}A=⎝⎛​124​235​347​⎠⎞​、B=(1221)B=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2 &1 \end{pmatrix}B=(12​21​)、C=(142536)C=\begin{pmatrix} 1 &4 \\ 2 &5 \\ 3 &6 \end{pmatrix}C=⎝⎛​123​456​⎠⎞​，求矩阵 X 使其满足AXB=CAXB=CAXB=C
AAA
解：
在等号两边同时乘以A−1A^{-1}A−1，则A−1AXB=A−1CA^{-1}AXB=A^{-1}CA−1AXB=A−1C，由于 A−1∗A=EA^{-1}A=EA−1∗A=E ，所以EXB=A−1CEXB=A^{-1}CEXB=A−1C
由于EEE乘以任何矩阵都等于矩阵本身，所以这里的EEE可以消除：XB=A−1CXB=A^{-1}CXB=A−1C
在等号两边同时乘以B−1B^{-1}B−1，则：XBB−1=A−1CB−1XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}XBB−1=A−1CB−1
由于A∗A−1=EAA^{-1}=EA∗A−1=E ，同理BB−1BB^{-1}BB−1可用EEE来替代。即：XE=A−1CB−1XE=A^{-1}CB^{-1}XE=A−1CB−1
由于EEE乘以任何矩阵都等于矩阵本身，所以这里的EEE可以消除：X=A−1CB−1X=A^{-1}CB^{-1}X=A−1CB−1
8. 利用A·A*=|A|E 或 A*·A=|A|E计算

A*代表A的伴随矩阵
如果出现了A*，将公式套入即可

9. 求矩阵的秩

已知(1234246845671269)\begin{pmatrix} 1 & 2& 3&4 \\ 2 & 4& 6&8 \\ 4 & 5& 6&7 \\ 1 & 2& 6&9\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎛​1241​2452​3666​4879​⎠⎟⎟⎟⎞​，求R(A)R(A)R(A)
先对矩阵进行行变换，使下行左端的 0 比上航多，知道下面行全为 0 为止。
注意：

• 必要条件：下一行左边的 0 必须比上一行多，相同多是不对的。
• 如果倒数2行都为0，那么也是允许的。（即时 0 的数量相同）
• 最后一行不全为 0 也没问题，只要保证必要条件即可

矩阵变换完成后，找出有几行是有非 0 数的，例如变换结果(1234246845670000)\begin{pmatrix} 1 & 2& 3&4 \\ 2 & 4& 6&8 \\ 4 & 5& 6&7 \\ 0 & 0& 0&0\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎛​1240​2450​3660​4870​⎠⎟⎟⎟⎞​有三行有非 0 数，那么R(A)=3R(A)=3R(A)=3
10. 已知矩阵的秩，求矩阵里的未知数

略